Razão e proporção
Razão
Chama-se de razão o quociente encontrado na divisão entre dois números racionais, a e b, sendo b diferente de zero. Confira o exemplo:
A minha biblioteca pessoal possui 50 livros. Entre eles, 30 exemplares são de contos e 20 são livros de poesias. Qual a razão entre o número de livros de poesia e o total de exemplares da minha biblioteca?
A resposta é obtida pelo quociente entre o número de livros de poesias e de livros no total. Veja:
a/b -> 20/50 = 2/5 = 0,4
Portanto, a razão é 0,4.
E qual a razão entre o número de livros de contos e de poesias?
a/b -> 30/20 = 3/2 = 1,5
Portanto, a razão entre o número dos livros de contos e de poesias é 1,5. Aqui, também pode-se perceber que para cada 3 de livros de contos, existem 2 exemplares de poesias.
Representação
A razão entre dois números pode ser representada por meio de duas notações diferentes. Entenda como podemos expressar a razão entre os números 10 e 5, por exemplo:
a : b = d -> 10 : 5 = 2
a/b = d -> 10/5 = 2
Em ambos os casos, lê-se: “a está para b”.
a = antecedente
b = consequente
a = antecedente
b = consequente
Razões inversas
As razões inversas são aquelas cujo produto do quociente é igual a 1. Acompanhe:
a/b . b/a = 1
Neste tipo de fração, o antecedente de uma é exatamente igual ao consequente da outra; o mesmo acontece com o consequente da primeira, porque ele é o mesmo que o antecedente da segunda. Veja:
4/5 e 5/4 -> 4/5 . 5/4 -> 20/20 = 1
Grandezas de mesma espécie
Para calcular a razão entre duas grandezas de uma mesma espécie, é necessário transformá-las para a mesma unidade de medida.
Ao calcular a razão entre duas distâncias, por exemplo, é necessário que ambos os valores estejam na mesma unidade de medida, que pode ser centímetros, metros ou quilômetros entre outras. Caso apenas uma delas não esteja, faça a conversão. Esse cuidado antes do cálculo evita que haja discrepâncias.
Exemplo: Determine as razões entre a área de duas quadras. A quadra de vôlei é menor e possui 240 m², enquanto a quadra de futebol possui 320 m².
240 m²/320 m² = 24/32 = 12/16 = ¾ = 0,75
A razão entre as quadras é de 3 para 4, ou seja, 0,75 m².
Grandezas de espécies diferentes
Em alguns casos, a razão está presente em cálculos corriqueiros do nosso dia a dia, mas para resolvê-los, emprega-se o uso de duas grandezas diferentes. Confira alguns exemplos:
Consumo médio por quilômetro
O consumo de um carro pode ser calculado baseado na razão entre a distância percorrida e o gasto de combustível.
Consumo médio = quilômetros percorridos/consumo de combustível
Exemplo: Um carro percorre 190 quilômetros com 16 litros de gasolina. Qual o seu consumo médio?
Consumo médio = quilômetros percorridos/consumo de combustível ? 190/16 = 11,8
Portanto, o consumo médio do automóvel é de 11,8 km/l, ou seja, a cada 11,8 quilômetros, ele consome um litro de gasolina.
Velocidade média
O mesmo raciocínio acima vale para os cálculos da velocidade média.
Velocidade média = quilômetros percorridos/tempo
Exemplo: Eduardo foi de Joinville a São Paulo e, em cinco horas, percorreu 535 quilômetros. Qual a velocidade média da sua viagem?
Velocidade média = quilômetros percorridos/tempo ? 535/5 = 107
Logo, a velocidade média de Eduardo durante a viagem foi de 107 km/h.
Proporção
Quando duas ou mais razões possuem o mesmo resultado, elas recebem o nome de proporção, ou seja, são consideradas iguais. Veja:
a/b = c/d
Confira alguns exemplos:
1/3 = 5/15
6/9 = 12/18
Como representar uma proporção?
A proporcionalidade entre dois números pode ser representada através de duas notações diferentes. Veja um exemplo:
a : b = c : d -> 10 : 2 = 5 : 1
a/b = c/d -> 10/2 = 5/1
Em ambos os casos, lê-se: “a está para b, assim como c está para d”.
a/b = c/d, onde a e d são os extremos, e b e c são os meios
Constante de proporcionalidade
a/b = c/d, onde a e d são os extremos, e b e c são os meios
Constante de proporcionalidade
O quociente de duas frações proporcionais recebe o nome de constante de proporcionalidade.
a/b = c/d = k, no qual k é a constante
Propriedades
Em todas as proporções, o produto de seus números extremos é igual ao produto de seus meios
Portanto,
a/b = c/d -> a . d = b . c
Essa propriedade das proporções também recebe o nome de regra de três e pode ser uma ótima solução quando é necessário encontrar um valor proporcional e já se tem os demais números. Entenda:
x/330 = 8/11 -> 11 . x = 330 . 8 -> 11x = 2640 -> x = 2640/11 = 240
32/24 = 20/x -> 32 . x = 20 . 24 -> x = 480/32 = 15
Os extremos podem ser trocados e a proporção ainda será verdadeira
Portanto,
a/b = c/d -> d/b = c/a
Os meios também podem ser trocados de lugar e a proporção ainda será verdadeira
Portanto,
a/b = c/d -> a/c = b/d
As razões podem ser invertidas e trocadas de lugar e continuarão válidas
Portanto,
a/b = c/d -> b/a = d/c -> a/c = b/d
Constantes diretamente proporcionais
Por definição, as constantes diretamente proporcionais implicam uma relação direta entre os valores a e b. Dessa maneira, ao multiplicar a por uma constante k, serão obtidos resultados correspondentes aos valores de b.
Considere os valores a e b diretamente proporcionais, para a constante k = 2.
a/b = 4/12 -> 8/24 = 16/48 = 32/96 = 64/192
Constantes inversamente proporcionais
Afirma-se que uma proporção é inversa quando ao multiplicar o valor a por uma constante k, a grandeza b será dividida pela mesma constante k.
Considere os valores a e b diretamente proporcionais para a constante k = 2.
a/b = 5/1200 -> 10/600 = 20/300 = 40/150
EXERCÍCIOS
1. Calcule a razão entre os números:
a) 120:20
b) 345:15
c) 121:11
d) 2040:40
b) 345:15
c) 121:11
d) 2040:40
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