FUNÇÕES - INTRODUÇÃO - PLANO CARTESIANO
Prof. José Fernando Nandé
FUNÇÕES
Função: relação entre duas variáveis.
Noção intuitiva de funções
Numa rodovia um carro mantém uma velocidade constante de 90 Km/h.
Tempo (t) Distância (d)
0,5 45
1 90
1,5 135
2 180
3 270
4 360
t 90t
Observe:
1) A distância percorrida é dada em função dos intervalos de tempo.
2) A cada intervalo de tempo corresponde a uma única distância.
então:
d = 90t
onde:
d = variável dependente
t = variável independente.
Funções por meio de conjuntos
Temos uma função de A em B expressa pela fórmula y = 2x
ATENÇÃO:
1. NÃO É FUNÇÃO SE QUALQUER ELEMENTO DE A TENHA MAIS DO QUE UM CORRESPONDENTE EM B.
2. SE TIVERMOS ELEMENTO OU ELEMENTOS EM A SEM CORRESPONDENTE EM B, NÃO TEMOS UMA FUNÇÃO DE A EM B.
NOTAÇÃO
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de x que pertence a A a um único elemento y em B.
f: A è
B ou A è B
Que se lê: f é uma função de A em B.
Portanto, podemos dizer que a função f transforma x de A em y de B
y = f(x)
Domínio, Contradomínio e Imagem
DOMÍNIO - No desenho acima, denominamos de Domínio da função representada o conjunto A e o conjunto B de Contradomínio. O conjunto Imagem será todo aquele elemento em B que tenha um correspondente em A.
Ainda observando o desenho:
Dizemos que f: A è B é definida por f(x) = 2x ou por y = 2x.
Então:
Domínio: A = {0,1,2,3,4}
Contradomínio: B = {0,1,2, 3, 4,5,6,7,8}
Imagem: Im(f) = {0,2,4,6,8}
Exemplo:
Considere a função
f:N èN
Definida por f(x) = x+1
Neste caso, a função f transforma todo número natural x em outro somado a 1, ou seja, seu sucessor.
Portanto:
O Domínio (D) é N;
O Contradomínio é N
A Imagem Im(f) = N*
Pois,
f(x) = x+1
f(0) = 0 + 1 = 1
f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2 +1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4...
Funções definidas por fórmulas
Imagine a seguinte situação:
O preço da gasolina está R$ 4,0 reais o litro, para eu comprar uma quantidade de litros eu vou gastar o número de litros desejados multiplicado pelo valor unitário.
Então:
preço a pagar = 4,0 vezes o número de litros comprados.
ou, y = 4x ou f(x) = 4x
São expressões comuns envolvendo o conceito de funções:
Com f definida nos números Reais, com cada número real x associado ao seu dobro:
f(x) = 2x
Ou número real x associado ao seu cubo:
f(x) = x³
Ou ainda, número real x associado ao seu triplo mais um:
f(x) = 3x + 1
Casos em que só temos a lei da função f, precisamos definir os conjuntos D, ou seja, o A e o Contradomínio B
Exemplos:
1) f(x) = 1/x
Só é possível em R se x for diferente de zero (não existe divisão por zero)
Logo, D(f) = R - {0} ou D(f) = R*
2) f(x) = (3 - x) ^ 1/2
D (f) = { x pertence aos R | x menor ou igual a 3}
3) f(x) = (7-x) ^ 1/2 / (x-2) ^ 1/2
Plano Cartesiano (Sistema de eixos ortogonais) e coordenadas
Pares ordenados ou coordenadas
(x, y)
x= 3
y = 5
A coordenada (0,0) chama-se origem dos eixos, ou simplesmente origem.
x= 0
y= 0
Exercício
Identifique em pares ordenados os pontos destacados em vermelho no gráfico:
Construa o gráfico para as seguintes funções:
f(x) = 2x
f(x) = -2x
f(x) = x²
Distância entre dois pontos no Plano Cartesiano
Determine a distância entre os pontos
1) A(0,0) e B(4,4)
2) A(-3,-3) e B(3,3)
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