O algoritmo para calcular raiz quadrada de inteiros

              

Teoria dos Números (Aritmética)

 Raiz Quadrada de números inteiros

                                                                                                          Prof. José Fernando

            1. Raiz quadrada de um número é outro número que elevado ao quadrado reproduz o número dado.

                  Assim, 5 é raiz quadrada de 25, pois:

                                                       

                   De maneira geral:

                                                        

                                                                 

            A esta operação denominamos radiciação que é operação inversa da potenciação.

            

            Onde:

          

            n = índice da raiz, maior do que 1: quando for 2 (geralmente não se escreve) lemos raiz quadrada; quando for 3, lemos raiz cúbica; quando for 4, raiz quarta, quando for 5, raiz quinta e assim por diante. Neste estudo, vamos nos ater somente à raiz quadrada;

             a =  radicando;

             b = raiz do radicando a, ou raiz de a, simplesmente.

            Neste capítulo do curso, vamos estudar, por enquanto, a raiz quadrada de números inteiros positivos, ou naturais.

            2. Quadrados perfeitos

            
           Dado um número inteiro, sempre podemos obter outro número inteiro que seja seu quadrado, mas a operação inversa nem sempre é possível, outro número inteiro que seja o quadrado.

            
             Exemplo 1 - Examinemos o número 40. Ele é um quadrado perfeito?

            
           Não existe nenhum inteiro que elevado ao quadrado dê 40; assim, somente os números inteiros que têm a raiz quadrada exata podem ser chamados de quadrados perfeitos.

            Quadrados Perfeitos de 1 até 100:
                       

           Não são quadrados perfeitos:

            I) Todo número terminado em 2, 3, 7 ou 8;

            II) Todo número terminado por um número ímpar de zeros; 

            III) Todo número que não divisível por 4;

            IV) Todo número terminado em 5 e cujo o algarismo das dezenas não seja 2.

           

            3. Raiz quadrada exata - é a raiz obtida a partir de um quadrado perfeito.

            4. Raiz quadrada por falta ou excesso 

           Exemplo 2 - Tomemos o número 60. Sabemos que por ter apenas um zero, o número 60 não é quadrado perfeito. Logo, 60 não tem raiz exata. Como 60 está entre 49, que é o quadrado de 7 e 64, que é o quadrado de 8, dizemos que 7 é a raiz quadrada inteira de 60 por falta e 8 a raiz quadrada por excesso.

            5. Resto da raiz quadrada de um número inteiro é a diferença entre o número dado e o maior quadrado perfeito contido nele. No caso do número 60, o resto de sua raiz quadrada é 60 - 49 = 11.

            6. Teorema fundamental da Aritmética:

            
            Todos os números inteiros positivos maiores do que 1 podem ser decompostos num produto de número primos, sendo esta decomposição única.

            Ou,

          Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto, de forma única, como produto de números primos.

            Decompondo (por fatoração) os números maiores do que 1 até 10, temos:

            2 = 2  (número primo)

            3 = 3 (número primo)

            4 = 2 X 2 (número composto)

            5 = 5 (número primo)

            6 = 2 X 3 (número composto)

            7 = 7 (número primo)

            8 = 2 X 2 X 2 (número composto)

            9 = 3 X 3 (número composto)

            10 = 2 X 5 (número composto)

            Ou seja, um número natural pode ser primo ou composto por primos. No caso dos números compostos, a composição será única. Isso quer dizer que não existe outro número composto com a mesma composição de primos deste número considerado.

            7. Raiz quadrada por decomposição em fatores primos ou fatoração

            Exemplo 3 - Calcular a raiz quadrada de 100.

Decompondo 100 em seus fatores primos:

Então:

         

               8. Algoritmo para o cálculo da raiz quadrada

                Exemplo 4 - calcule a raiz quadrada de 182329.

A) Separe o radicando com espaços de dois em dois algarismos, a partir da direita. Caso não dê o par, o último espaçamento pode conter um único algarismo. No caso, 18 23 29; B) ache a raiz exata mais próxima da primeira dupla de algarismos à esquerda, que será o primeiro algarismo procurado. No caso, a mais próxima de 18 é 16, que é o quadrado de quatro; C) subtraia o quadrado dos primeiros algarismos espaçados. No caso, 16 subtraído de 18, que é 2, o primeiro resto parcial;

E) baixe os dois próximos junto ao resto. No caso, 23. F) ao lado, Faça o dobro do primeiro algarismo encontrado. No caso, 4 X 2 = 8;

G) Divida os dois primeiros algarismos, juntos ao primeiro resto, pelo dobro encontrado. No caso, 22 dividido por oito (lembre-se que o resultado desta divisão tem que ser um número inteiro – sem vírgulas ou frações); se usássemos 3, teríamos um excesso, que impediria a subtração, pois 83 X 3 = 249, bem maior do que 223; H) O segundo número da raiz será o quociente inteiro dessa divisão ou um número menor do que ele. No caso, 22 dividido por oito, o inteiro mais próximo, por falta, é 2;

I) Ao lado, dobre a parte já achada da raiz. No caso 42 X 2 = 84; J) Baixe os dois algarismos seguintes ao lado do resto. No caso, 29. K) Despreze o último algarismo junto ao resto e divida o restante pelo dobro encontrado.  No caso, 592 dividido por 4, o que dá aproximadamente 7. Este 7 vai compor o resultado da raiz, que é exata, pois zero é o resultado da última subtração.

            Exercício resolvido 1 - Calcule a raiz quadrada de 313580.

            Exercício resolvido 2 – Calcule a raiz quadrada de 60879241.

            Exercícios propostos – Encontre as raízes quadradas:

a) 625
b) 6561
c) 1521
d) 7225
e) 390625
f) 516961
g) 1679616
h) 5764801

             Respostas:

a. 25; b. 81; c. 39; d. 85; e. 625; f. 719; g. 1296; h. 2401.