Conjuntos e conjuntos numéricos

Professor José Fernando

Conjunto e conjuntos numéricos

Conjunto: coleção qualquer de objetos.

Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um conjunto A.

Assim, dizemos que a pertence a A.

Escrevemos: a ∈ A.

Exemplos:

B, conjunto dos números primos:

B = {2, 3, 5, 7...}

2 ∈ B

7 ∈ B

Caso elemento não pertença ao conjunto considerado:

a ∉ A

Exemplo:

4 ∉ A, pois não é primo.

Propriedade, condições e conjuntos

Consideremos a propriedade p:

p: x natural ímpar

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11...}

Desta forma, é indiferente dizermos que x possui a propriedade p, ou que x ∈ I.

Considere a condição:

c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x² - 4 = 0

A = {-2, 2}

Podemos dizer que x satisfaz a condição c, ou x ∈ A.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos:

Conjunto A = {números naturais pares}

Conjunto B = { 0, 2, 4, 6, 8...}

Então, A = B

Conjunto C = {1, 3, 5...}

A = B  

A ≠ C

Obs: o número que os mesmos elementos se repetem em dois conjuntos não os fazem desiguais:

A = {1, 2}

B = {1, 1, 1, 2, 2, 2}

Portanto: A = B.

Exercícios

1. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:

a) x é um número natural par;

b) x é um natural múltiplo de 5 e menor do que 31;

c) x é um quadrilátero que possui quatro ângulos retos.

2. Escreva o conjunto dado pelas condições:

a) y é um número tal que y² - 25 = 0;

b) y é um número tal que y²  - 5y + 6 = 0;

c) y é um número divisor de 16 tal que y³ = 8;

d) y é um número inteiro menor do que 6 e maior do que -2.

3. Escreva uma propriedade que define o conjunto:

a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) {0, 2, 4, 6}

4. Escreva a condição que define o conjunto:

a) {-3, 3}

b) {5}

Conjunto Vazio, Unitário e Universo

Conjunto Vazio

Exemplo:

A = { x | x é um número natural ímpar menor do que um}

Resposta:

A= Ø ou {  }

Conjunto Unitário

Exemplo:

B = { x | x números naturais pares e primos}

B = { 2}

Conjunto Universo – define todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Notação: U.

Exemplo:

U = { x | x números inteiros}

Se considerada a equação 2x – 1 = 0

O valor encontrado para x será de de ½; logo, então, a equação não tem solução no Conjunto Universo Considerado, pois x, neste caso é  um número pertencente aos racionais, que podem ser escritos na forma p/q.

Subconjuntos e a relação de inclusão

Considera os conjuntos A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, ou que A está contido em B, dizemos que A está contido em B.

Exemplos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

P = { 2, 4, 6, 8, 10...}

K = {1/3}

Então:

a) P_____N

b) N_____P

c) N_____K

d) K______N

e) P______K

f) 9______N

g) 1/5_____K

Relação de inclusão

A está contido em B é chamada de relação de inclusão. São casos particulares da relação de inclusão:

1. O conjunto A está contido no conjunto A;

2. O conjunto vazio está contido no conjunto A;

Propriedades:

Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determinado conjunto universo U:

a) Propriedade reflexiva: A está contido em A

b) Propriedade antissimétrica: Se A está contido em B e B está contido em A, então A = B

c) Propriedade transitiva: Se A está contido em B e B está contido em C, então A = C.

Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais, N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}

Subconjunto importante de N é o conjunto dos Naturais sem o zero:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} ou N* = N - {0}

Note:

Qualquer número natural só tem um sucessor; números naturais diferentes, sucessores diferentes;

O zero é o único número natural que não é sucessor de número algum.

Conjunto dos Números Inteiros, Z

Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

São seus subconjuntos notáveis:

a) N, pois os naturais estão contidos em Z;

b) Z*, os inteiros sem o zero, Z - {0};

c) Z+, inteiros positivos.

Números Simétricos

O simétrico, ou oposto de um número inteiro é ele com o sinal trocado, de tal sorte que a soma dos dois é zero.

-3 é o oposto ou simétrico de +3, pois (-3) + (+3) = 0

Conjunto dos Números Racionais, Q

Ao se considerar que qualquer número pode escrito da forma p/q, com que diferente de zero, introduzimos as frações nos conjuntos numéricos, especificamente nos números racionais, Q.

Q = {...-2, -3/2, -1, 0, 1, 3/2, 2...}

Note que 2 pode ser escrito na forma de uma fração aparente, 4/2.

Portanto:

Q = {x | x = p/q, com p e pertencendo a Z e q diferente de zero}

Observação: Se ao dividirmos p por q e encontrarmos uma dízima periódica, o resultado pertence aos racionais, mas se ela for não periódica, o resultado não pertencerá aos racionais, caso do Pí, por exemplo.

Determinação da geratriz da decimal:

a) 0,75 = 75/100 = 3/4

b) 0,222... = 

x = 0,222

10x = 2,22

10x = 2 + 0,22

10x = 2 + x

9x = 2

x = 2/9 (fração geratriz)

c) 0,414141...

N =  0,414141

100N = 41 + 4141

100 N = 41 + N

99N = 41

N = 41/99 (fração geratriz)

Números Irracionais, Ir

Existem números decimais infinitos e não periódicos que incluímos no conjunto denominado de Irracionais:

Raiz quadrada de 2, por exemplo é igual a 1,4142135...

π = 3,1415926535...

Conjunto dos Números Reais, R

Resultado da união dos conjuntos racional e irracional. Ou seja, é a reunião de todos os conjuntos precedentes.

Observe que existe outros números além dos reais, os complexos, ou as raízes negativas.

Resumo: