GEOMETRIA PLANA – LÓGICA

Aula 1

Prof. José Fernando 



MÉTODO DE PROVA



Silogismos, 
Suposições, Axiomas, Postulados, Teoremas 


Em Matemática, como em toda Ciência, temos que provar nossas afirmações. Para isso, usamos a Lógica.

LÓGICA – (grego, Logos) – É a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente para procurar e demonstrar a verdade.

Lógica é a "arte de pensar, ou arte de julgar”. (Port-Royal)

Lógica é a “ciência do raciocínio”. (Aristóteles)

Lógica é a “arte da consequência”. (Stuart Mill)


1. Prova por silogismo ou raciocínio dedutivo 


Silogismo, instrumento da Lógica, é o argumento pelo qual, dum antecedente, que une dois termos a um terceiro, tira-se um consequente, que une dois termos entre si.

a) Premissa maior - Estabelece-se uma afirmação geral referindo-se a um conjunto. Por exemplo, a classe dos cães - Todos os cães são quadrúpedes;

b) Premissa menor - Estabelece-se uma afirmação particular do conjunto. Por exemplo, todos os perdigueiros são cães;

c) Conclusão – é a dedução, obtida a partir das premissas. No caso, Todos os perdigueiros são quadrúpedes

No exemplo, vamos usar círculos para ilustrar o silogismo, destacando cada conjunto, em que os elementos aparecem contidos conforme deu-se o raciocínio dedutivo:



2. Observação, medida e experimento não são provas

a) Observação - É por demais conhecido o adágio “as aparências enganam”. De fato, a observação visual, por exemplo, pode nos enganar. Observe atentamente as figuras abaixo. Em cada uma, embora não se pareçam, os segmentos AB e CD são iguais.






b) Medida - Não é exata e sim aproximada, pois depende do instrumento de medida e da habilidade do operador.

c) Experimento - Um experimento possui em si a probabilidade das conclusões serem reproduzidas; depende de situações ou circunstâncias particulares no processo de experimentação. Em Ciência, probabilidade não é certeza.



Exercício resolvido 1 

Cada letra, como A, B, C, etc. representa um grupo ou conjunto. Complete cada afirmação usando círculos para demonstração do silogismo.

a) Se A é B, e B é C, então..........

Solução:

A é C

b) Se C é D, e E é C, então...........


Solução: E é D

c) Se quadrados são retângulos e retângulos são paralelogramos, então:

Solução: Quadrados são paralelogramos.


Exercício resolvido 2 - Escreva a afirmação necessária para completar o silogismo:



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Aula 2




3. Suposições, axiomas e postulados


a) Suposições - afirmações gerais que não serão provadas. São afirmações que devem ser aceitas como verdadeiras para que a partir delas se deduzam outras. Suposições são axiomas ou postulados.

b) Axiomas - são suposições que podem ser usadas na Matemática de forma geral.

c) Postulados - são suposições que se aplicam em ramo particular da Matemática como, por exemplo, Geometria.

4. Axiomas

Ax.1 - Objetos ou quantidades iguais a um outro objeto ou quantidade são iguais entre si.
         
Ou, A = B e C = B implica em A = C.

Ax.2 - Uma quantidade pode ser substituída outra igual em qualquer expressão ou equação. (Axioma da substituição).

Se x = 5 e y = x + 3, então, substituindo x por 5, y 5 + 3 = 8

Ax.3 - O todo é igual à soma de suas partes.

Assim, 10 = 7 + 3

Ax.4 - Um objeto ou quantidade é igual a si mesmo. (Identidade).

Assim, x = x; AB = AB; â = ê

Ax.5 - Somas cujas parcelas são iguais têm resultados iguais. (Adição).

7 Kg = 7000 g
2 Kg = 2000 g (soma)
-----------------
9 Kg = 9000 g

ou,

x + y = 12
x - y  = 8     (soma)
------------
2x     = 20

Ax.6 - Subtrações cujas parcelas são iguais têm resultados iguais.

7 Kg = 7000 g
2 Kg = 2000 g (subtração)
-----------------
5 Kg = 5000 g

ou,

x + y = 12
x - y  = 8     (subtração)
------------
     2y = 4

Ax. 7 - Multiplicações cujos fatores são iguais têm produtos iguais.

Se um livro custa R$ 50,00, três livros custam R$ 150,00.

Ax. 8 - Divisões entre termos iguais têm quocientes iguais. (Divisão).

Se um litro de óleo custa R$ 10,00, meio litro de óleo custará R$ 5,00 e um quarto de litro R$ 2,50.

Ax. 9 - Números iguais elevados a potências iguais dão resultados iguais.

Se x = 5, então x² = 5² ou x² = 25. Se y³ = 27, então raiz cúbica de 27 é igual a 3.

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Aula 3


5. Postulados

Post.1 - Uma e apenas uma reta pode ligar dois pontos.



Post.2 - Duas retas podem se cruzar em um ponto e apenas um ponto.



Post.3 -Uma reta é a menor distância entre dois pontos.



Post.4 - Dado um centro e um raio, pode-se traçar um e apenas um círculo.



Post.5 - Qualquer figura geométrica pode ser movida para outra posição sem alteração da forma e tamanho.



Post.6 - Um segmento de reta possui um e apenas um ponto médio.



Post.7 - Um ângulo possui uma e apenas uma bissetriz.




Post.8 - Por qualquer ponto de uma reta pode-se levantar uma e apenas uma perpendicular a esta reta.



Post. 9 - Por qualquer ponto exterior a uma reta pode-se baixar uma e apenas uma reta perpendicular a esta reta.





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Lógica e Geometria Plana   - aula 4                                         prof. José Fernando


Exercícios:



1. Que conclusões podemos tirar aplicando o Axioma 1 aos dados seguintes.

A) Dados:
i) a = 10, b = 10, c = 10
ii) a = 25, a = c
iii) a = b, c = b

Solução:

Recordemos o Axioma 1:

“Objetos (ou quantidades) iguais a um outro objeto (ou quantidade) são iguais entre si.”


i) Se a, b, c, são iguais a 10, então a = b = c.

ii) Se a, c são iguais a 25, então a = c

iii) Se a = b e c= b, logo a = c.


B) Dados
iv) â = 40ºô = 40º, û = 40º

v) û = â = ô = û

vi) û = â = ô = û

Solução:
iv) Se â, ô, û são iguais a 40º, então â, ô, û

v) Se ô e û são iguais a â, então ô e û são iguais

vi) Se â e ô são iguais a û, então â é igual a ô

















2) Que conclusões podemos tirar aplicando o Axioma 2 nos seguintes dados:

Axioma 2 - “Uma quantidade pode ser substituída por outra igual em qualquer expressão ou equação”.

A) Dados:
i) calcule 2.a + 2.b quando a = 4 e b = 8

ii) calcule x se 3x + 4y = 35 e y = 5

Solução:

i) 2.4 +2.8 = 24

ii)
3x + 4.5 = 35
3x = 35 – 20
x = 15 : 3
x = 5

B) Dados:
iii) ϕ + θ + σ = 180º

ϕ = α e σ β

Solução:

Considerando os dados e substituindo ϕ e σ na equação dada, temos a soma dos ângulos internos do triângulo, que também é cento e oitenta:

α + θ β = 180º

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Aula 5 - Lógica e Geometria Plana     Prof. José Fernando



3. Em cada item estabeleça as conclusões consequentes da aplicação do Axioma 3.

a)


Lembrando que o Axioma 3 afirma: “O todo é igual a soma de suas partes”

Solução:
AC = 3 + 5 = 8
BD = 5 + 6 = 11
AD = 3 + 5 + 6 = 14


b)





Solução:


Ângulo AC = 60º + 40º = 100º
Ângulo BD = 40º + 30º = 70º
Ângulo AD = 60º + 40º + 30º = 130º


c)






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