TEORIA DOS NÚMEROS



A ARITMÉTICA DOS NUMERAIS ROMANOS, ORDINAIS, CARDINAIS, MULTIPLICATIVOS E DISTRIBUTIVOS


Prof. José Fernando


Os numerais romanos ainda hoje são usados em várias partes do mundo, independentemente da origem da língua. Além de responderem a uma questão cultural-histórica, eles sobreviveram, como nos casos brasileiro e português, praticamente na forma de ordenadores de conjuntos e na indicação de nomes de reis e papas. Hoje, podemos encontrá-los facilmente em sistemas legais ou indicadores de tomos e capítulos de livros, por exemplos.
O próprio nome desses numerais nos parece impróprio. Mesmo que usados e difundidos pelos romanos junto com a língua latina, sabemos que os etruscos, povo que habitou a região de Roma, nos séculos VII a.C. até IV a.C., portanto, antes dos romanos propriamente ditos, já depois do século VII a.C. “Vários séculos antes de Júlio César, os etruscos e mais genericamente os povos itálicos (oscos, équos, umbros...) inventaram signos de numeração de grafia e estrutura idênticas à dos algarismos romanos arcaicos” (Ifrah, 2010).

Afresco encontrado numa casa em Pompeia e que indicava que o casal retratado era letrado. A mulher com sua tábuas de cera e grifo para anotações e o homem com um pergaminho.


BASES DA ARITMÉTICA NOS NUMERAIS ROMANOS

Sabemos que o numeral dá ao substantivo a ideia de quantidade, ordenação e multiplicação. Dois cães; vinte dólares, primeiro colocado, décima primeira corrida, tri-campeão (três vezes campeão) etc. De fato,  os numerais romanos serviam para enumerar elementos de coleções ou conjuntos – atribui-se sua invenção a pastores que contavam seus rebanhos – ordenar coleções - o número de dias, meses e anos, por exemplo, e estabelecer multiplicadores.
Os romanos usavam sete letras maiúsculas do próprio alfabeto para representar os algarismos. O sistema de numeração funcionava a partir de algarismos fundamentais e intermediários, não havendo notação específica para o zero.


O interessante desses numerais, que tira do alfabeto seus algarismos, é que eles têm implícitos em si alguns axiomas aritméticos, sobremodo o da soma e da subtração, conforme poderemos verificar em seus princípios.


                                                                Princípios:


A NUMERAÇÃO, ORDEM E MULTIPLICATIVOS  LATINOS E SUAS REGRAS DE USO

O grande problema dos numerais romanos residia justamente, além da ausência do zero, nas operações aritméticas. Os algoritmos que utilizamos hoje para cálculos envolvendo somas, subtrações, multiplicação e divisão simplesmente não funcionariam com tal sistema. De sorte que, por estas dificuldades, os algarismos indo-arábicos foram introduzidos mais tarde no Ocidente. Porém, se os algarismos romanos foram praticamente supressos de nosso cotidiano, ficaram os nomes dos numerais (cardinais), a ordenação de coleções (ordinais), e as operações dos numerais como fatores (multiplicativos e distributivos).


NUMERAIS CARDINAIS - indicam quantidade total
indo-arábicos
Romanos
Latim
1
I
unus, una, unum
2
II
duo, duae, duo
3
III
tres, tria
4
IV
quatuor ou quattuor
5
V
quinque
6
VI
sex
7
VII
septem
8
VIII
octo
9
IX
novem
10
X
decem
11
XI
undecim
12
XII
duodecim
13
XIII
tredecim
14
XIV
quatuordecim
15
XV
quindecim
16
XVI
se(x)decim ou decem et sex
17
XVII
septemdecim ou decem et sepetem
18
XVIII
duodeviginti, octodecim, decem et octo
19
XIX
undeviginti, novemdecim,  decem et novem
20
XX
viginti
21
XXI
viginti unus, a, um ou unus, a, um et vingiti
22
XXII
viginti duo, duae, duo ou duo, duae, duo et viginti.
23
XXIII
viginti tres, tria ou tres, tria et viginti
24
XXIV
viginti quatuor ou quatuor et viginti
25
XXV
viginti quinque ou quinque et viginti
26
XXVI
viginti sex ou sex et viginti
27
XXVII
viginti septem ou septem et viginti
28
XXVIII
duodetriginta
29
XXIX
undetriginta
30
XXX
triginta
40
XL
quadraginta
50
L
quinquaginta
60
LX
sexaguinta
70
LXX
septuaginta
80
LXXX
octoginta
90
XC
nonaginta
100
C
centum
101
CI
centum unus, a, um ou centum et unus, a, um
102
CII
centum duo, duae, duo ou centum et duo, duae, duo
200
CC
ducenti, ducentae, ducenta
300
CCC
trecenti, ae, a
400
CD
quadringenti, ae, a
500
D
quingenti, ae, a
600
DC
sexcenti, ae, a
700
DCC
sepetingenti, ae, a
800
DCCC
octingenti, ae, a
900
CM
nongenti, ae, a
1000
M
mille
1001
MI
unus, a, um et Mille
1500
MD
quingenti, ae, a et mille
2000
MM
duo millia
2500
MMD
quingenti, ae, a et duo millia
3000
MMM
tria millia
10000
(ver explicação acima)
decem millia
100000
centum millia
500000
quingenta millia
999999
nongenta nonaginta novem millia nogenti ae,a et nonaginta novem
1000000
(ver multiplicativos)


DO USO E REGRAS

Em português se diz um homem ou uma mulher; em latim, também, o ordinal concorda com gênero, número e caso com o substantivo.

Ao se declinar unus, una, unum tenha como base bonus, a, um, sem o vocativo e preste atenção no genitivo e no dativo do singular: unius (gen.); uni (dat.).

O plural só se usa com substantivos que só têm plural, ou que o substantivo plural tenha significado diverso do singular: unae litterae  = uma carta; una castra = um acampamento.

O latim somente emprega unus, a, um quando significa um só. O um em português não se traduz em latim a não ser que venha acompanhado de  ou somente: Amo a um Deus = Deum amo; Amo a um só Deus = Unum Deum amo.Na tradução de uni homines fica os homens.

Seguem a declinação de unus, a, um (preste atenção no genitivo e dativo singular!), totus (todo inteiro); solus (só, sozinho); nullus (nenhum, ninguém); ullus (algum, um, nenhum); nonullus (mais de um); alter (outro, o outro, segundo); ambo (ambos).

Declinam-se os cardinais:

Unus, a, um
Caso
Masculino
Feminino
Neutro
Nominativo
unus
una
unum
Genitivo
unius
unius
unius
Dativo
uni
uni
uni
Ablativo
uno
una
uno
Acusativo
unum
unam
Unum


Duo, duae, duo
Caso
Masculino
Feminino
Neutro
Nominativo
Duo
Duae
Duo
Vocativo
Duo
Duae
Duo
Genitivo
Duorum
Duarum
Duorum
Dativo
Duobus
Duabus
Duobus
Ablativo
Duobus
Duabus
Duobus
Acusativo
Duos
Duas
Duo


Tres, tria
Caso
Masc./Fem.
Neutro
Nominativo
Tres
tria
Vocativo
Tres
tria
Genitivo
Trium
trium
Dativo
Tribus
tribus
Ablativo
Tribus
tribus
Acusativo
Tres
tria

Em duo, o genitivo masculino encontra-se também na forma contrata duum e o acusativo duos na forma duo.

Os cardinais de quatuor até centum não se declinam.

As formas sedecim, septemdecim, octodecim e novemdecim são equivalentes às formas: decem et sex, decem et septem, decem et octo, decem et novem, que deram origem às formas em português, dezesseis, dezessete...

Nas duas últimas dezenas prefira a forma:
18 = dois (tirados) de vinte = duodeviginti
19 = um (tirado) de vinte = undeviginti
28 = dois tirados de trinta = duodetriginta.
29 = um tirado de trinta = undetriginta.

Duas formas há para 21, 22...99.
25 – viginti quinque ou quinque et viginti

Procure não colocar unus perto do substantivo:
Vinte e um homens → homines viginti unus ou unus et viginti homines.

Para dizer “vinte e uma rosas” → una viginti rosae (feminino exige una).

Para dizer “vinte e um exércitos” → unum viginti bella (neutro exige unum – bellum, i no singular significa guerra, combate, batalha e no plural exércitos).

De 100 a 999 o número menor vem depois do maior → centum unus ou centum et unuscentum octoginta ou centum et octoginta.

As centenas de 200 a 900 são declináveis como o plural boni, bonae, bona, podendo o genitivo ter as formas em orum ou umducentorum, ducentum.

Sexcenti era utilizado pelos latinos parta também indicar quantidade incontável (em nossa linguagem informal, algo como “trocentos”).

De 1000 para cima, quase sempre o menor vem antes, ligado com etquinque et Mille (1005); viginti et tria millia (3020); centum et duo millia (2100).

O cardinal mille é indeclinável: Mille militescum mille et quadrigentis militibus; mas possui plural que é neutro e declinável:

Nominativo
unum et viginti millia
Genitivo
unius et viginti millium
Dativo
uni et viginti millibus
Ablativo
uno et viginti millibus
Acusativo
unum et viginti millia

O plural millia exige o substantivo no genitivo plural como se correspondesse em português a milheiro:

Nominativo
duo millia militum
Genitivo
duorum millium militum
Dativo
duobus millibus militum
Ablativo
duobus millibus militum
Acusativo
duo millia militum


Quando o substantivo não vier diretamente unido a millia, ele assume o caso exigido pela função na frase:
Milites duo millia quingenti ou duo millia quingenti milites.
Militibus duobus millibus quigentis ou duobus millibus quingentis militibus.

No caso de números completos, milhar, centena, dezena, o maior precede os menores: 3183 = tria millia centum (et) octoginta sex.



ORDINAIS - Como o próprio nome sugere, são numerais que ordenam série de coisas.
primeiro
primus, a, um
segundo
secundus, a, um (alter, era, erum)
terceiro
tertius, a, um
quarto
quartus, a, um
quinto
quintus, a, um
sexto
sextus, a, um
sétimo
septimus, a, um
oitavo
octavus, a, um
nono
nonus, a, um
10º
décimo
decimus, a, um
11º
décimo primeiro
undecimus, a, um
12º
décimo segundo
duodecimus, a, um
13º
décimo terceiro
tertius decimus (terdecimus)
18º
décimo oitavo
duodevicesimus (octavus decimus)
19º
décimo nono
undevicesimus (nonus decimus)
20º
vigésimo
Vicesimus
21º
vigésimo primeiro
unus et vicesimus (vicesimus primus)
22º
vigésimo segundo
alter et vicesimus (vicesimus alter)
23º
vigésimo terceiro
tertius et vicesimus (vicesimus tertius)
28º
vigésimo oitavo
duodetricesimus
29º
vigésimo nono
undetricesimus
30º
trigésimo
tricesimus
40º
quadragésimo
quadragesimus
50º
quinquagésimo
quinquagesimus
60º
sexagésimo
sexagesimus
70º
setuagésimo
septuagesimus
80º
octogésimo
octogesimus
90º
nonagésimo
nonagesimus
100º
centésimo
centesimus
101º
centésimo primeiro
centesimus et primus
102º
centésimo segundo
centesimus alter
200º
ducentésimo
ducentesimus
300º
trecentésimo
trecentesimus
400º
quadricentésimo
quadringentesimus
500º
quingentésimo
quingentesimus
600º
sexcentésimo
sexcentisimus
700º
sepcentingentésimo
septingentesimus
800º
octingentésimo
octingentesimus
900 º
nongentésimo
nongentesimus
1000º
milésimo
millesimus
1001º
milésimo primeiro
millesimus primus
2000º
segundo milésimo
(ver multiplicativos)


Os ordinais se declinam regularmente como bonus, a, um.

Tratando-se de mais de dois elementos emprega-se primus. Dois elementos somente, se emprega prior (declina-se como os comparativos).

O mesmo ocorre com secundus. Usa-se alter (o outro) quando se tratar de dois elementos apenas.

Nos ordinais em que se usa “primeiro”, no latim usa-se também as forma unus et. Assim, unus et quinquagesimus (51º).

Nos que entram “segundo”, o latim usa alter. Assim, anteposto com etalter et quinquagesimus ou posoposto, sem etquinquagesimus alter.

Escrevem-se nonagesimus nonus ou nonus et nonagesimus.

 Do 101º ao 999º escreve-se quase sempre com o maior precedendo o menor, com ou sem etnonogentesimus (et) nonagesimus nonus.

Do 1001 em diante se escreve o maior precede o menor, sempre sem et: millesimus nongentesimus quadragesimus tertius (1943º).


FATORES
MULTIPLICATIVOS
DISTRIBUTIVOS
1
semel
singuli (uni)
2
bis
bini
3
ter
terni (trini)
4
quater
quaterni
5
quinquies
quini
6
sexies
seni
7
septies
septeni
8
octies
octoni
9
novies
noveni
10
decies
deni
11
undecies
undeni
12
duodecies
duodeni
13
terdecies (tredecies)
terni deni
14
quatuordecies (quater decies)
quaterni deni
15
quindecies (quinquies decies)
quini deni
16
sedecies (sexies decies)
seni deni
17
sepetiesdecies
septeni deni
18
duodevicies (octies decies)
octoni deni (duodeviceni)
19
undevicies (novies decies)
noveni deni (undeviceni)
20
vicies
viceni
21
vicies semel
viceni singuli
22
vicies bis
viceni bini
30
tricies
triceni
40
quadragies
quadrageni
50
quinquagies
quinquageni
60
sexagies
sexageni
70
septuagies
septuageni
80
octogies
octogeni
90
nonagies
nonageni
100
centies
centeni
101
centies semel
centeni singuli
200
ducenties
duceni
300
trecenties
treceni
400
quadrigenties
quadringeni
500
quingenties
quingeni
600
sexcenties
sexceni
700
sepetingenties
septingeni
800
octingenties
octingeni
900
nongenties
nongeni
1000
millies
singula millia
2000
bis millies
bina millia
10000
decies millies
dena millia
100000
centies millies
centena millia
500000
quinguenties millies
quingena millia
1000000
decies centies millies
decies centena millia

DO USO E REGRAS

Os multiplicativos até 19 recebem antes o número menor, sem et, ou quinquies decies ou quindecies.
Nos distributivos em que há centena, o número maior vem antes, ligado ao menor sem et: centeni quadrageni quini.

Certos cardinais se formam com a ajuda do multiplicativo. Um milhão em latim se diz dez vezes 100 mil: decies centena millia. Dois milhões fica vicies centena millia.

Os ordinais também se utilizam dos multiplicativos:
2000º = bis millesimus
3000º = ter millesimus
100000º = centies millesimus
200000º = ducenties millesimus

Referências

IFRAH, G., Os Números - A história de uma grande invenção. 11 ed. 2013, Editora Globo, São Paulo.

ALMEIDA, Napoleão Mendes - Gramática Latina. 30 ed. 2011. Saraiva, São Paulo.


-------------------------------------------------------------------- 

Raiz Quadrada de números inteiros

                                                                                                          Prof. José Fernando

            1. Raiz quadrada de um número é outro número que elevado ao quadrado reproduz o número dado.
                  Assim, 5 é raiz quadrada de 25, pois:

                                                       
                   De maneira geral:

                                                        
                                                                 

            A esta operação denominamos radiciação que é operação inversa da potenciação.
            
            Onde:
          
            n = índice da raiz, maior ou igual a 1: quando for 2 (geralmente não se escreve) lemos raiz quadrada; quando for 3, lemos raiz cúbica; quando for 4, raiz quarta, quando for 5, raiz quinta e assim por diante. Neste estudo, vamos nos ater somente à raiz quadrada;
             a =  radicando;
             b = raiz do radicando a, ou raiz de a, simplesmente.

            Neste capítulo do curso, vamos estudar, por enquanto, a raiz quadrada de números inteiros positivos, ou naturais.

            2Quadrados perfeitos
            
           Dado um número inteiro, sempre podemos obter outro número inteiro que seja seu quadrado, mas a operação inversa nem sempre é possível outro número inteiro que seja o quadrado.
            
             Exemplo 1 - Examinemos o número 40. Ele é um quadrado perfeito?
            
           Não existe nenhum inteiro que elevado ao quadrado dê 40; assim, somente os números inteiros que têm a raiz quadrada exata podem ser chamados de quadrados perfeitos.

            Quadrados Perfeitos de 1 até 100:
                       




           Não são quadrados perfeitos:

            I) Todo número terminado em 2, 3, 7 ou 8;
            II) Todo número terminado por um número ímpar de zeros; 
            III) Todo número que não divisível por 4;
            IV) Todo número terminado em 5 e cujo o algarismo das dezenas não seja 2.
           
            3Raiz quadrada exata - é a raiz obtida a partir de um quadrado perfeito.

            4Raiz quadrada por falta ou excesso 

           Exemplo 2 - Tomemos o número 60. Sabemos que por ter apenas um zero, o número 60 não é quadrado perfeito. Logo, 60 não tem raiz exata. Como 60 está entre 49, que é o quadrado de 7 e 64, que é o quadrado de 8, dizemos que 7 é a raiz quadrada inteira de 60 por falta e 8 a raiz quadrada por excesso.

            5Resto da raiz quadrada de um número inteiro é a diferença entre o número dado e o maior quadrado perfeito contido nele. No caso do número 60, o resto de sua raiz quadrada é 60 - 49 = 11.

            6Teorema fundamental da Aritmética:
            
            Todos os números inteiros positivos maiores do que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única.

            Ou,

          Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto, de forma única, como produto de números primos.

            Decompondo (por fatoração) os números maiores do que 1 até 10, temos:
            2 = 2  (número primo)
            3 = 3 (número primo)
            4 = 2 X 2 (número composto)
            5 = 5 (número primo)
            6 = 2 X 3 (número composto)
            7 = 7 (número primo)
            8 = 2 X 2 X 2 (número composto)
            9 = 3 X 3 (número composto)
            10 = 2 X 5 (número composto)

            Ou seja, um número natural pode ser primo ou composto por primos. No caso dos números compostos, a composição será única. Isso quer dizer que não existe outro número composto com a mesma composição de primos deste número considerado.

            7Raiz quadrada por decomposição em fatores primos ou fatoração

            Exemplo 3 - Calcular a raiz quadrada de 100.


Decompondo 100 em seus fatores primos:



Então:

                    



         
               8. Algoritmo para o cálculo da raiz quadrada

                Exemplo 4 - calcule a raiz quadrada de 182329.

A) Separe o radicando com espaços de dois em dois algarismos, a partir da direita. Caso não dê o par, o último espaçamento pode conter um único algarismo. No caso, 18 23 29;
B) ache a raiz exata mais próxima da primeira dupla de algarismos à esquerda, que será o primeiro algarismo procurado. No caso, a mais próxima de 18 é 16, que é o quadrado de quatro;
C) subtraia o quadrado dos primeiros algarismos espaçados. No caso, 16 subtraído de 18, que é 2, o primeiro resto parcial;


E) baixe os dois próximos junto ao resto. No caso, 23.

F) ao lado, Faça o dobro do primeiro algarismo encontrado.
No caso, 4 X 2 = 8;


G) Divida os dois primeiros algarismos, juntos ao primeiro resto, pelo dobro encontrado. No caso, 22 dividido por oito (lembre-se que o resultado desta divisão tem que ser um número inteiro – sem vírgulas ou frações); se usássemos 3, teríamos um excesso, que impediria a subtração, pois 83 X 3 = 249, bem maior do que 223;

H) O segundo número da raiz será o quociente inteiro dessa divisão ou um número menor do que ele. No caso, 22 dividido por oito, o inteiro mais próximo, por falta, é 2;


I) Ao lado, dobre a parte já achada da raiz. No caso 42 X 2 = 84;

J) Baixe os dois algarismos seguintes ao lado do resto. No caso, 29.

K) Despreze o último algarismo junto ao resto e divida o restante pelo dobro encontrado. 
No caso, 592 dividido por 4, o que dá aproximadamente 7. Este 7 vai compor o resultado da raiz, que é exata, pois zero é o resultado da última subtração.


            Exercício resolvido 1 - Calcule a raiz quadrada de 313580.




            Exercício resolvido 2 – Calcule a raiz quadrada de 60879241.





            Exercícios propostos – Encontre as raízes quadradas:

a) 625
b) 6561
c) 1521
d) 7225
e) 390625
f) 516961
g) 1679616
h) 5764801

             Respostas:

a. 25; b. 81; c. 39; d. 85; e. 625; f. 719; g. 1296; h. 2401.





Nenhum comentário:

Postar um comentário