TEORIA DOS NÚMEROS

A ARITMÉTICA DOS NUMERAIS ROMANOS, ORDINAIS, CARDINAIS, MULTIPLICATIVOS E DISTRIBUTIVOS

Prof. José Fernando

Os numerais romanos ainda hoje são usados em várias partes do mundo, independentemente da origem da língua. Além de responderem a uma questão cultural-histórica, eles sobreviveram, como nos casos brasileiro e português, praticamente na forma de ordenadores de conjuntos e na indicação de nomes de reis e papas. Hoje, podemos encontrá-los facilmente em sistemas legais ou indicadores de tomos e capítulos de livros, por exemplos.

O próprio nome desses numerais nos parece impróprio. Mesmo que usados e difundidos pelos romanos junto com a língua latina, sabemos que os etruscos, povo que habitou a região de Roma, nos séculos VII a.C. até IV a.C., portanto, antes dos romanos propriamente ditos, já depois do século VII a.C. “Vários séculos antes de Júlio César, os etruscos e mais genericamente os povos itálicos (oscos, équos, umbros...) inventaram signos de numeração de grafia e estrutura idênticas à dos algarismos romanos arcaicos” (Ifrah, 2010).

Afresco encontrado numa casa em Pompeia e que indicava que o casal retratado era letrado. A mulher com sua tábuas de cera e grifo para anotações e o homem com um pergaminho.

BASES DA ARITMÉTICA NOS NUMERAIS ROMANOS

Sabemos que o numeral dá ao substantivo a ideia de quantidade, ordenação e multiplicação. Dois cães; vinte dólares, primeiro colocado, décima primeira corrida, tri-campeão (três vezes campeão) etc. De fato,  os numerais romanos serviam para enumerar elementos de coleções ou conjuntos – atribui-se sua invenção a pastores que contavam seus rebanhos – ordenar coleções - o número de dias, meses e anos, por exemplo, e estabelecer multiplicadores.

Os romanos usavam sete letras maiúsculas do próprio alfabeto para representar os algarismos. O sistema de numeração funcionava a partir de algarismos fundamentais e intermediários, não havendo notação específica para o zero.

O interessante desses numerais, que tira do alfabeto seus algarismos, é que eles têm implícitos em si alguns axiomas aritméticos, sobremodo o da soma e da subtração, conforme poderemos verificar em seus princípios.

                                                                Princípios:

A NUMERAÇÃO, ORDEM E MULTIPLICATIVOS  LATINOS E SUAS REGRAS DE USO

O grande problema dos numerais romanos residia justamente, além da ausência do zero, nas operações aritméticas. Os algoritmos que utilizamos hoje para cálculos envolvendo somas, subtrações, multiplicação e divisão simplesmente não funcionariam com tal sistema. De sorte que, por estas dificuldades, os algarismos indo-arábicos foram introduzidos mais tarde no Ocidente. Porém, se os algarismos romanos foram praticamente supressos de nosso cotidiano, ficaram os nomes dos numerais (cardinais), a ordenação de coleções (ordinais), e as operações dos numerais como fatores (multiplicativos e distributivos).

NUMERAIS CARDINAIS - indicam quantidade total
indo-arábicos	Romanos	Latim
1	I	unus, una, unum
2	II	duo, duae, duo
3	III	tres, tria
4	IV	quatuor ou quattuor
5	V	quinque
6	VI	sex
7	VII	septem
8	VIII	octo
9	IX	novem
10	X	decem
11	XI	undecim
12	XII	duodecim
13	XIII	tredecim
14	XIV	quatuordecim
15	XV	quindecim
16	XVI	se(x)decim ou decem et sex
17	XVII	septemdecim ou decem et sepetem
18	XVIII	duodeviginti, octodecim, decem et octo
19	XIX	undeviginti, novemdecim,  decem et novem
20	XX	viginti
21	XXI	viginti unus, a, um ou unus, a, um et vingiti
22	XXII	viginti duo, duae, duo ou duo, duae, duo et viginti.
23	XXIII	viginti tres, tria ou tres, tria et viginti
24	XXIV	viginti quatuor ou quatuor et viginti
25	XXV	viginti quinque ou quinque et viginti
26	XXVI	viginti sex ou sex et viginti
27	XXVII	viginti septem ou septem et viginti
28	XXVIII	duodetriginta
29	XXIX	undetriginta
30	XXX	triginta
40	XL	quadraginta
50	L	quinquaginta
60	LX	sexaguinta
70	LXX	septuaginta
80	LXXX	octoginta
90	XC	nonaginta
100	C	centum
101	CI	centum unus, a, um ou centum et unus, a, um
102	CII	centum duo, duae, duo ou centum et duo, duae, duo
200	CC	ducenti, ducentae, ducenta
300	CCC	trecenti, ae, a
400	CD	quadringenti, ae, a
500	D	quingenti, ae, a
600	DC	sexcenti, ae, a
700	DCC	sepetingenti, ae, a
800	DCCC	octingenti, ae, a
900	CM	nongenti, ae, a
1000	M	mille
1001	MI	unus, a, um et Mille
1500	MD	quingenti, ae, a et mille
2000	MM	duo millia
2500	MMD	quingenti, ae, a et duo millia
3000	MMM	tria millia
10000	(ver explicação acima)	decem millia
100000		centum millia
500000		quingenta millia
999999		nongenta nonaginta novem millia nogenti ae,a et nonaginta novem
1000000		(ver multiplicativos)

DO USO E REGRAS

Em português se diz um homem ou uma mulher; em latim, também, o ordinal concorda com gênero, número e caso com o substantivo.

Ao se declinar unus, una, unum tenha como base bonus, a, um, sem o vocativo e preste atenção no genitivo e no dativo do singular: unius (gen.); uni (dat.).

O plural só se usa com substantivos que só têm plural, ou que o substantivo plural tenha significado diverso do singular: unae litterae  = uma carta; una castra = um acampamento.

O latim somente emprega unus, a, um quando significa um só. O um em português não se traduz em latim a não ser que venha acompanhado de só ou somente: Amo a um Deus = Deum amo; Amo a um só Deus = Unum Deum amo.Na tradução de uni homines fica os homens.

Seguem a declinação de unus, a, um (preste atenção no genitivo e dativo singular!), totus (todo inteiro); solus (só, sozinho); nullus (nenhum, ninguém); ullus (algum, um, nenhum); nonullus (mais de um); alter (outro, o outro, segundo); ambo (ambos).

Declinam-se os cardinais:

Unus, a, um

Caso	Masculino	Feminino	Neutro
Nominativo	unus	una	unum
Genitivo	unius	unius	unius
Dativo	uni	uni	uni
Ablativo	uno	una	uno
Acusativo	unum	unam	Unum

Duo, duae, duo

Caso	Masculino	Feminino	Neutro
Nominativo	Duo	Duae	Duo
Vocativo	Duo	Duae	Duo
Genitivo	Duorum	Duarum	Duorum
Dativo	Duobus	Duabus	Duobus
Ablativo	Duobus	Duabus	Duobus
Acusativo	Duos	Duas	Duo

Tres, tria

Caso	Masc./Fem.	Neutro
Nominativo	Tres	tria
Vocativo	Tres	tria
Genitivo	Trium	trium
Dativo	Tribus	tribus
Ablativo	Tribus	tribus
Acusativo	Tres	tria

Em duo, o genitivo masculino encontra-se também na forma contrata duum e o acusativo duos na forma duo.

Os cardinais de quatuor até centum não se declinam.

As formas sedecim, septemdecim, octodecim e novemdecim são equivalentes às formas: decem et sex, decem et septem, decem et octo, decem et novem, que deram origem às formas em português, dezesseis, dezessete...

Nas duas últimas dezenas prefira a forma:

18 = dois (tirados) de vinte = duodeviginti

19 = um (tirado) de vinte = undeviginti

28 = dois tirados de trinta = duodetriginta.

29 = um tirado de trinta = undetriginta.

Duas formas há para 21, 22...99.

25 – viginti quinque ou quinque et viginti

Procure não colocar unus perto do substantivo:

Vinte e um homens → homines viginti unus ou unus et viginti homines.

Para dizer “vinte e uma rosas” → una viginti rosae (feminino exige una).

Para dizer “vinte e um exércitos” → unum viginti bella (neutro exige unum – bellum, i no singular significa guerra, combate, batalha e no plural exércitos).

De 100 a 999 o número menor vem depois do maior → centum unus ou centum et unus; centum octoginta ou centum et octoginta.

As centenas de 200 a 900 são declináveis como o plural boni, bonae, bona, podendo o genitivo ter as formas em orum ou um: ducentorum, ducentum.

Sexcenti era utilizado pelos latinos parta também indicar quantidade incontável (em nossa linguagem informal, algo como “trocentos”).

De 1000 para cima, quase sempre o menor vem antes, ligado com et; quinque et Mille (1005); viginti et tria millia (3020); centum et duo millia (2100).

O cardinal mille é indeclinável: Mille milites, cum mille et quadrigentis militibus; mas possui plural que é neutro e declinável:

Nominativo	unum et viginti millia
Genitivo	unius et viginti millium
Dativo	uni et viginti millibus
Ablativo	uno et viginti millibus
Acusativo	unum et viginti millia

O plural millia exige o substantivo no genitivo plural como se correspondesse em português a milheiro:

Nominativo	duo millia militum
Genitivo	duorum millium militum
Dativo	duobus millibus militum
Ablativo	duobus millibus militum
Acusativo	duo millia militum

Quando o substantivo não vier diretamente unido a millia, ele assume o caso exigido pela função na frase:

Milites duo millia quingenti ou duo millia quingenti milites.

Militibus duobus millibus quigentis ou duobus millibus quingentis militibus.

No caso de números completos, milhar, centena, dezena, o maior precede os menores: 3183 = tria millia centum (et) octoginta sex.

ORDINAIS - Como o próprio nome sugere, são numerais que ordenam série de coisas.
1º	primeiro	primus, a, um
2º	segundo	secundus, a, um (alter, era, erum)
3º	terceiro	tertius, a, um
4º	quarto	quartus, a, um
5º	quinto	quintus, a, um
6º	sexto	sextus, a, um
7º	sétimo	septimus, a, um
8º	oitavo	octavus, a, um
9º	nono	nonus, a, um
10º	décimo	decimus, a, um
11º	décimo primeiro	undecimus, a, um
12º	décimo segundo	duodecimus, a, um
13º	décimo terceiro	tertius decimus (terdecimus)
18º	décimo oitavo	duodevicesimus (octavus decimus)
19º	décimo nono	undevicesimus (nonus decimus)
20º	vigésimo	Vicesimus
21º	vigésimo primeiro	unus et vicesimus (vicesimus primus)
22º	vigésimo segundo	alter et vicesimus (vicesimus alter)
23º	vigésimo terceiro	tertius et vicesimus (vicesimus tertius)
28º	vigésimo oitavo	duodetricesimus
29º	vigésimo nono	undetricesimus
30º	trigésimo	tricesimus
40º	quadragésimo	quadragesimus
50º	quinquagésimo	quinquagesimus
60º	sexagésimo	sexagesimus
70º	setuagésimo	septuagesimus
80º	octogésimo	octogesimus
90º	nonagésimo	nonagesimus
100º	centésimo	centesimus
101º	centésimo primeiro	centesimus et primus
102º	centésimo segundo	centesimus alter
200º	ducentésimo	ducentesimus
300º	trecentésimo	trecentesimus
400º	quadricentésimo	quadringentesimus
500º	quingentésimo	quingentesimus
600º	sexcentésimo	sexcentisimus
700º	sepcentingentésimo	septingentesimus
800º	octingentésimo	octingentesimus
900 º	nongentésimo	nongentesimus
1000º	milésimo	millesimus
1001º	milésimo primeiro	millesimus primus
2000º	segundo milésimo	(ver multiplicativos)

Os ordinais se declinam regularmente como bonus, a, um.

Tratando-se de mais de dois elementos emprega-se primus. Dois elementos somente, se emprega prior (declina-se como os comparativos).

O mesmo ocorre com secundus. Usa-se alter (o outro) quando se tratar de dois elementos apenas.

Nos ordinais em que se usa “primeiro”, no latim usa-se também as forma unus et. Assim, unus et quinquagesimus (51º).

Nos que entram “segundo”, o latim usa alter. Assim, anteposto com et, alter et quinquagesimus ou posoposto, sem et, quinquagesimus alter.

Escrevem-se nonagesimus nonus ou nonus et nonagesimus.

 Do 101º ao 999º escreve-se quase sempre com o maior precedendo o menor, com ou sem et: nonogentesimus (et) nonagesimus nonus.

Do 1001 em diante se escreve o maior precede o menor, sempre sem et: millesimus nongentesimus quadragesimus tertius (1943º).

FATORES	MULTIPLICATIVOS	DISTRIBUTIVOS
1	semel	singuli (uni)
2	bis	bini
3	ter	terni (trini)
4	quater	quaterni
5	quinquies	quini
6	sexies	seni
7	septies	septeni
8	octies	octoni
9	novies	noveni
10	decies	deni
11	undecies	undeni
12	duodecies	duodeni
13	terdecies (tredecies)	terni deni
14	quatuordecies (quater decies)	quaterni deni
15	quindecies (quinquies decies)	quini deni
16	sedecies (sexies decies)	seni deni
17	sepetiesdecies	septeni deni
18	duodevicies (octies decies)	octoni deni (duodeviceni)
19	undevicies (novies decies)	noveni deni (undeviceni)
20	vicies	viceni
21	vicies semel	viceni singuli
22	vicies bis	viceni bini
30	tricies	triceni
40	quadragies	quadrageni
50	quinquagies	quinquageni
60	sexagies	sexageni
70	septuagies	septuageni
80	octogies	octogeni
90	nonagies	nonageni
100	centies	centeni
101	centies semel	centeni singuli
200	ducenties	duceni
300	trecenties	treceni
400	quadrigenties	quadringeni
500	quingenties	quingeni
600	sexcenties	sexceni
700	sepetingenties	septingeni
800	octingenties	octingeni
900	nongenties	nongeni
1000	millies	singula millia
2000	bis millies	bina millia
10000	decies millies	dena millia
100000	centies millies	centena millia
500000	quinguenties millies	quingena millia
1000000	decies centies millies	decies centena millia

DO USO E REGRAS

Os multiplicativos até 19 recebem antes o número menor, sem et, ou quinquies decies ou quindecies.

Nos distributivos em que há centena, o número maior vem antes, ligado ao menor sem et: centeni quadrageni quini.

Certos cardinais se formam com a ajuda do multiplicativo. Um milhão em latim se diz dez vezes 100 mil: decies centena millia. Dois milhões fica vicies centena millia.

Os ordinais também se utilizam dos multiplicativos:

2000º = bis millesimus

3000º = ter millesimus

100000º = centies millesimus

200000º = ducenties millesimus

Referências

IFRAH, G., Os Números - A história de uma grande invenção. 11 ed. 2013, Editora Globo, São Paulo.

ALMEIDA, Napoleão Mendes - Gramática Latina. 30 ed. 2011. Saraiva, São Paulo.

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Raiz Quadrada de números inteiros

                                                                                                          Prof. José Fernando

            1. Raiz quadrada de um número é outro número que elevado ao quadrado reproduz o número dado.

                  Assim, 5 é raiz quadrada de 25, pois:

                                                       

                   De maneira geral:

                                                        

                                                                 

            A esta operação denominamos radiciação que é operação inversa da potenciação.

            

            Onde:

          

            n = índice da raiz, maior ou igual a 1: quando for 2 (geralmente não se escreve) lemos raiz quadrada; quando for 3, lemos raiz cúbica; quando for 4, raiz quarta, quando for 5, raiz quinta e assim por diante. Neste estudo, vamos nos ater somente à raiz quadrada;

             a =  radicando;

             b = raiz do radicando a, ou raiz de a, simplesmente.

            Neste capítulo do curso, vamos estudar, por enquanto, a raiz quadrada de números inteiros positivos, ou naturais.

            2. Quadrados perfeitos

            
           Dado um número inteiro, sempre podemos obter outro número inteiro que seja seu quadrado, mas a operação inversa nem sempre é possível outro número inteiro que seja o quadrado.

            
             Exemplo 1 - Examinemos o número 40. Ele é um quadrado perfeito?

            
           Não existe nenhum inteiro que elevado ao quadrado dê 40; assim, somente os números inteiros que têm a raiz quadrada exata podem ser chamados de quadrados perfeitos.

            Quadrados Perfeitos de 1 até 100:
                       

           Não são quadrados perfeitos:

            I) Todo número terminado em 2, 3, 7 ou 8;

            II) Todo número terminado por um número ímpar de zeros; 

            III) Todo número que não divisível por 4;

            IV) Todo número terminado em 5 e cujo o algarismo das dezenas não seja 2.

           

            3. Raiz quadrada exata - é a raiz obtida a partir de um quadrado perfeito.

            4. Raiz quadrada por falta ou excesso 

           Exemplo 2 - Tomemos o número 60. Sabemos que por ter apenas um zero, o número 60 não é quadrado perfeito. Logo, 60 não tem raiz exata. Como 60 está entre 49, que é o quadrado de 7 e 64, que é o quadrado de 8, dizemos que 7 é a raiz quadrada inteira de 60 por falta e 8 a raiz quadrada por excesso.

            5. Resto da raiz quadrada de um número inteiro é a diferença entre o número dado e o maior quadrado perfeito contido nele. No caso do número 60, o resto de sua raiz quadrada é 60 - 49 = 11.

            6. Teorema fundamental da Aritmética:

            
            Todos os números inteiros positivos maiores do que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única.

            Ou,

          Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto, de forma única, como produto de números primos.

            Decompondo (por fatoração) os números maiores do que 1 até 10, temos:

            2 = 2  (número primo)

            3 = 3 (número primo)

            4 = 2 X 2 (número composto)

            5 = 5 (número primo)

            6 = 2 X 3 (número composto)

            7 = 7 (número primo)

            8 = 2 X 2 X 2 (número composto)

            9 = 3 X 3 (número composto)

            10 = 2 X 5 (número composto)

            Ou seja, um número natural pode ser primo ou composto por primos. No caso dos números compostos, a composição será única. Isso quer dizer que não existe outro número composto com a mesma composição de primos deste número considerado.

            7. Raiz quadrada por decomposição em fatores primos ou fatoração

            Exemplo 3 - Calcular a raiz quadrada de 100.

Decompondo 100 em seus fatores primos:

Então:

         

               8. Algoritmo para o cálculo da raiz quadrada

                Exemplo 4 - calcule a raiz quadrada de 182329.

A) Separe o radicando com espaços de dois em dois algarismos, a partir da direita. Caso não dê o par, o último espaçamento pode conter um único algarismo. No caso, 18 23 29; B) ache a raiz exata mais próxima da primeira dupla de algarismos à esquerda, que será o primeiro algarismo procurado. No caso, a mais próxima de 18 é 16, que é o quadrado de quatro; C) subtraia o quadrado dos primeiros algarismos espaçados. No caso, 16 subtraído de 18, que é 2, o primeiro resto parcial;

E) baixe os dois próximos junto ao resto. No caso, 23. F) ao lado, Faça o dobro do primeiro algarismo encontrado. No caso, 4 X 2 = 8;

G) Divida os dois primeiros algarismos, juntos ao primeiro resto, pelo dobro encontrado. No caso, 22 dividido por oito (lembre-se que o resultado desta divisão tem que ser um número inteiro – sem vírgulas ou frações); se usássemos 3, teríamos um excesso, que impediria a subtração, pois 83 X 3 = 249, bem maior do que 223; H) O segundo número da raiz será o quociente inteiro dessa divisão ou um número menor do que ele. No caso, 22 dividido por oito, o inteiro mais próximo, por falta, é 2;

I) Ao lado, dobre a parte já achada da raiz. No caso 42 X 2 = 84; J) Baixe os dois algarismos seguintes ao lado do resto. No caso, 29. K) Despreze o último algarismo junto ao resto e divida o restante pelo dobro encontrado.  No caso, 592 dividido por 4, o que dá aproximadamente 7. Este 7 vai compor o resultado da raiz, que é exata, pois zero é o resultado da última subtração.

            Exercício resolvido 1 - Calcule a raiz quadrada de 313580.

            Exercício resolvido 2 – Calcule a raiz quadrada de 60879241.

            Exercícios propostos – Encontre as raízes quadradas:

a) 625
b) 6561
c) 1521
d) 7225
e) 390625
f) 516961
g) 1679616
h) 5764801

             Respostas:

a. 25; b. 81; c. 39; d. 85; e. 625; f. 719; g. 1296; h. 2401.