A Lógica e os métodos de prova na Geometria Plana

Aula 1 - Geometria Plana

Prof. José Fernando 

MÉTODO DE PROVA

Silogismos, 

Suposições, Axiomas, Postulados, Teoremas 

Em Matemática, como em toda Ciência, temos que provar nossas afirmações. Para isso, usamos a Lógica.

LÓGICA – (grego, Logos) – É a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente para procurar e demonstrar a verdade.

Lógica é a "arte de pensar, ou arte de julgar”. (Port-Royal)

Lógica é a “ciência do raciocínio”. (Aristóteles)

Lógica é a “arte da consequência”. (Stuart Mill)

1. Prova por silogismo ou raciocínio dedutivo 

Silogismo, instrumento da Lógica, é o argumento pelo qual, dum antecedente, que une dois termos a um terceiro, tira-se um consequente, que une dois termos entre si.

a) Premissa maior - Estabelece-se uma afirmação geral referindo-se a um conjunto. Por exemplo, a classe dos cães - Todos os cães são quadrúpedes;

b) Premissa menor - Estabelece-se uma afirmação particular do conjunto. Por exemplo, todos os perdigueiros são cães;

c) Conclusão – é a dedução, obtida a partir das premissas. No caso, Todos os perdigueiros são quadrúpedes

No exemplo, vamos usar círculos para ilustrar o silogismo, destacando cada conjunto, em que os elementos aparecem contidos conforme deu-se o raciocínio dedutivo:

2. Observação, medida e experimento não são provas

a) Observação - É por demais conhecido o adágio “as aparências enganam”. De fato, a observação visual, por exemplo, pode nos enganar. Observe atentamente as figuras abaixo. Em cada uma, embora não se pareçam, os segmentos AB e CD são iguais.

b) Medida - Não é exata e sim aproximada, pois depende do instrumento de medida e da habilidade do operador.

c) Experimento - Um experimento possui em si a probabilidade das conclusões serem reproduzidas; depende de situações ou circunstâncias particulares no processo de experimentação. Em Ciência, probabilidade não é certeza.

Exercício resolvido 1 

Cada letra, como A, B, C, etc. representa um grupo ou conjunto. Complete cada afirmação usando círculos para demonstração do silogismo.

a) Se A é B, e B é C, então..........

Solução:

A é C

b) Se C é D, e E é C, então...........

Solução: E é D

c) Se quadrados são retângulos e retângulos são paralelogramos, então:

Solução: Quadrados são paralelogramos.

Exercício resolvido 2 - Escreva a afirmação necessária para completar o silogismo: