Álgebra Superior

                                                                                                             Professor José Fernando

Módulo I                                                                                               

Álgebra - é o ramo da matemática que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente com a Geometria, Topologia, Análise, e Teoria dos Números.

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS

Adição  

a + b è 2 + 3 = 5

Subtração 

a – b è 5 – 3 = 2

Multiplicação  - O produto de dois números a e b é um número c tal que:

a X b = c  ou  a.b = c ou 

(a)(b) = c,  onde a e b são os fatores e c é o produto.

5 X 3 = 15 ou 5.3 = 15 ou (5)(3) = 15

Divisão

a ÷ b  ou a/b ; onde a é o dividendo e b o divisor.

a/b também é chamada de fração, onde a é o numerador e b é o denominador.

Observações sobre o zero (0):

O zero dividido por qualquer número diferente dele mesmo tem como resultado o zero;

A divisão por zero é impossível;

Qualquer número multiplicado por zero tem como produto o zero.
Um número dividido por zero é indefinido, ou impossível.
Zero dividido por zero é indeterminado.

Conjuntos numéricos

Naturais, ou Inteiros Positivos è São os números que utilizamos naturalmente nas contagens: 1, 2, 3, 4, 5...

Números Racionais Positivos è Conhecidos também por números fracionários positivos. São os números que podem ser escritos na forma de fração. Portanto, abrangem os Naturais, pois 3/1 é o Natural 3 e os que não possuem divisões que resultam em números inteiros, 7/3, 5/8 etc.  

Números Irracionais Positivos è São números não Racionais, tais como a raiz quadrada de dois, ou π, que não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros.

Números Inteiros Negativos è são números criados para ampliar os conjuntos numéricos e que permitem operações como 5 – 8 = -3. A partir do zero, -1, -2, -3, -4...

Os conjuntos dos Números Racionais e Irracionais Negativos seguem o raciocínio anterior:

 - 5/8; -3/5; -2π etc.

Números Reais – É o conjunto que abrangem todos os conjuntos observados, tanto positivos como negativos, Naturais, Racionais e Irracionais. Podemos representar os conjuntos graficamente, no eixo ordenado, como o conjunto dos Números Reais, no exemplo:

Note:

O ponto A se situado à direta do ponto B, o ponto A será maior que B; ou que o número B é menor que A. Usando os sinais das desigualdade (>, <):

7 > 5; 

5/2 > 0

-3 < -2

Pode-se provar que a cada número real corresponde a um e somente um ponto sobre o eixo; e inversamente que, a cada ponto do eixo, corresponde a um e apenas um número real. 

RESUMO

Exercício 1 - Aponte o conjunto ou conjuntos que os números pertencem:

Exercício 2 - Localize sobre o eixo ordenado, aproximadamente, os números do exercício anterior: 

Exercício 3: questão de vestibular:

(CEFET - AL) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:

a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.

b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.

c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.

d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.

e) Todo número irracional é real.

Valor absoluto (módulo): O valor absoluto é o número destituído de seus sinal. 

Exercício 4 - Escrever os valores absolutos dos seguintes números reais:

a) -1

b) +3

c) -3,4

d) 2,83

e) + 2/5

f) - 3/8

g)  -2π

Propriedades da adição e multiplicação

Adição

i) Comutativa: a ordem das parcelas não influi no resultado. 

a +b = b + a

5 + 3 = 3 + 5

ii) Associativa: as parcelas de uma soma podem ser agrupadas de qualquer forma, sem que se afete o resultado.

a + b + c = (a +b) + c = a + (b + c)

3 + 4 + 1 = (3 + 4) + 1 = 3 + (4 + 1) = 8

Multiplicação

iii) Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto

a.b = b.a

2.3 = 3.2 = 6

iv) Associativa: os fatores de um produto podem ser agrupados de um modo qualquer, sem que se afete o resultado.

a.b.c = a(b.c) = ab(c)

5.1.3 = 3(1.3) = 5.1(3) = 15

v) Distributiva: o produto de um número a por uma soma de de dois números (b + c) é igual a soma dos produtos ab + ac.

a(b + c) = ab + a.c

2(1 + 3) = 2.1 + 2.3 = 8

Regra dos sinais 

i) Para somar dois números de mesmo sinal, somam-se os seus valores absolutos, precedendo-se o resultado do sinal comum.

3 + 4 = 7

(-3) + (-4) = -7

ii) Para somar dois números de sinais contrários, subtraem-se os seus valores absolutos, precedendo-se seu resultado o sinal do número de maior valor.

17 + (-8) = 9

12 + (-7) = 5

(-9) + (-4) = -13

(-18) + 15 = -3

iii) Para subtrair um número b de um número a, troca-se o sinal de b e soma-se a a.

12 - (7) = 12 + (-7) = 5

(-9) -4 = (-9) + (-4) = - 13

2 - (-8) = 2 + 8 = 10

iv) Para multiplicar (ou dividir) dois números do mesmo sinal, multiplicam-se (ou dividem-se) seus valores absolutos, precedendo-se o resultado do sinal mais (ou nenhum sinal).

(5) (3) = 15

(-5) (-3) = 15

-6/-3 = 2

v) Para multiplicar (ou dividir) dois números de sinais contrários, multiplicam-se (ou dividem-se) seus valores absolutos, precedendo-se o resultado de sinal menos.

(-3) (6) = -18

(3) (-6) = -18

-12/4 = -3

Lembrete!

Exercíco 5 - Calcular os valores das expressões abaixo, para os seguintes valores das letra:

x = 2; y = -3; z = 5; a = 1/2; b = -2/3

i) 2x + y 

ii) 3x - 2y -4z

iii) 4x²y

iv) x³ + 4y/ 2a - 3b

v) (x/y)² - 3(b/a)³

Expoentes e Potências

Quando um número a é multiplicado por si mesmo n vezes, o produto a.a.a.a.a... ele é representado pelo símbolo  , o qual é conhecido como enésima potência de a, ou a elevado a n.

Propriedades dos expoentes

Exercício 6 - Calcular:

i) 2³ =

ii) 5(3)² =

iii) 2⁴.2⁶ =

iv) 2⁵.5² =

v) 3⁴.3³/3² =

vi) 5².5³/5⁷ =

vii) (2³)² =

viii) (2/3)⁴ =

ix) (3⁴)³.(3²)⁴/(-3)¹⁵ .3⁴ =

x) 3⁸/3⁵ - 4².2⁴/2⁶ + 3(-2)³ =

Operações com as frações

Exercícios 7 - Determinar a soma S, a diferença D, o produto P e o quociente Q dos seguintes pares de números racionais:

a) 1/3 e 1/6

b) 3/4 e 20

c) 5/8 e 48

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Raiz Quadrada - I

                                                                                                          

            1. Raiz quadrada de um número é outro número que elevado ao quadrado reproduz o número dado.

                  Assim, 5 é raiz quadrada de 25, pois:

                                                       

                   De maneira geral:

                                                       

                                                                 

            A esta operação denominamos radiciação que é operação inversa da potenciação.

            

            Onde:

          

            n = índice da raiz, maior ou igual a 1: quando for 2 (geralmente não se escreve) lemos raiz quadrada; quando for 3, lemos raiz cúbica; quando for 4, raiz quarta, quando for 5, raiz quinta e assim por diante. Neste estudo, vamos nos ater somente à raiz quadrada;

             a =  radicando;

             b = raiz do radicando a, ou raiz de a, simplesmente.

            Neste capítulo do curso, vamos estudar, por enquanto, a raiz quadrada de números inteiros positivos, ou naturais.

            2. Quadrados perfeitos

            
           Dado um número inteiro, sempre podemos obter outro número inteiro que seja seu quadrado, mas a operação inversa nem sempre é possível outro número inteiro que seja o quadrado.

            
             Exemplo 1 - Examinemos o número 40. Ele é um quadrado perfeito?

            
           Não existe nenhum inteiro que elevado ao quadrado dê 40; assim, somente os números inteiros que têm a raiz quadrada exata podem ser chamados de quadrados perfeitos.

            Quadrados Perfeitos de 1 até 100:
                       

Ou, pela tábua de multiplicação

           Não são quadrados perfeitos:

            I) Todo número terminado em 2, 3, 7 ou 8;

            II) Todo número terminado por um número ímpar de zeros; 

            III) Todo número que não divisível por 4;

            IV) Todo número terminado em 5 e cujo o algarismo das dezenas não seja 2.

           

            3. Raiz quadrada exata - é a raiz obtida a partir de um quadrado perfeito.

            4. Raiz quadrada por falta ou excesso 

           Exemplo 2 - Tomemos o número 60. Sabemos que por ter apenas um zero, o número 60 não é quadrado perfeito. Logo, 60 não tem raiz exata. Como 60 está entre 49, que é o quadrado de 7 e 64, que é o quadrado de 8, dizemos que 7 é a raiz quadrada inteira de 60 por falta e 8 a raiz quadrada por excesso.

            5. Resto da raiz quadrada de um número inteiro é a diferença entre o número dado e o maior quadrado perfeito contido nele. No caso do número 60, o resto de sua raiz quadrada é 60 - 49 = 11.

            6. Teorema fundamental da Aritmética:

            
            Todos os números inteiros positivos maiores do que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única.

            Ou,

          Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto, de forma única, como produto de números primos.

            Decompondo (por fatoração) os números maiores do que 1 até 10, temos:

            2 = 2  (número primo)

            3 = 3 (número primo)

            4 = 2 X 2 (número composto)

            5 = 5 (número primo)

            6 = 2 X 3 (número composto)

            7 = 7 (número primo)

            8 = 2 X 2 X 2 (número composto)

            9 = 3 X 3 (número composto)

            10 = 2 X 5 (número composto)

            Ou seja, um número natural pode ser primo ou composto por primos. No caso dos números compostos, a composição será única. Isso quer dizer que não existe outro número composto com a mesma composição de primos deste número considerado.

            7. Raiz quadrada por decomposição em fatores primos ou fatoração

            Exemplo 3 - Calcular a raiz quadrada de 100.

Decompondo 100 em seus fatores primos:

Então: