Álgebra Superior II - Exponenciais

Professor José Fernando

Equação Exponencial

Uma expressão matemática é considerada uma equação quando apresenta pelo menos uma incógnita. Quando essa incógnita aparece no expoente, com bases positivas e diferentes de um, temos uma equação denominada exponencial.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 . 20,5t, sendo t em horas.

Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8192000?

Solução

Na situação proposta, conhecemos o número de bactérias, ou seja, sabemos que N(t) = 8192000 e queremos descobrir o valor de t. Então, basta substituir esse valor na expressão dada:

Para resolver essa equação, vamos escrever o número 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Portanto, fatorando o número, temos:

Logo, a cultura terá 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.

Exercício 2

Os materiais radioativos possuem uma tendência natural, ao longo do tempo, de desintegrar sua massa radioativa. O tempo necessário para que metade da sua massa radioativa se desintegre é chamado de meia-vida.

A quantidade de material radioativo de um determinado elemento é dado por:

Sendo,

N(t): a quantidade de material radioativo (em gramas), em um determinado tempo.
N0: a quantidade inicial de material (em gramas)
T: o tempo da meia vida (em anos)
t: tempo (em anos)

Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 28 anos, determine o tempo necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua quantidade inicial.

Solução

Para a situação proposta A(t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, sendo assim, podemos escrever a expressão dada, substituindo T por 28 anos, então:

Portanto, serão necessários 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida em 25%.

Exercícios de vestibulares

1) Unesp – 2018 - O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

 2) Enem (PPL) - 2015 - O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1 800 . (1,03)^t .

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.

Respostas: 

1) Como a quantidade inicial de medicação na corrente sanguínea a cada 2 horas é dividida pela metade, podemos representar esta situação através do seguinte esquema:

Note que o expoente, em cada situação, é igual ao tempo dividido por 2. Assim, podemos definir a quantidade de medicação na corrente sanguínea em função do tempo, através da seguinte expressão:

Sendo

Q(t): a quantidade em uma determinada hora
Q0: a quantidade inicial ingerida
t: tempo em horas

Considerando ainda que foram tomados 800 mg de ibuprofeno a cada 6 h, temos então:

Para encontrar a quantidade de medicação na corrente sanguínea após 14 horas da ingestão da 1ª dose, devemos somar as quantidades referentes a 1ª, 2ª e 3ª doses. Calculando essas quantidades, temos:

A quantidade da 1ª dose, será encontrada considerando o tempo igual a 14 h, assim temos:

Para a segunda dose, conforme podemos ver no esquema acima, o tempo foi de 8 horas. Substituindo esse valor, temos:

O tempo relativo a 3ª dose será de apenas 2 horas. A quantidade relativa a 3ª dose será então:

Agora que já sabemos as quantidades referentes a cada dose ingerida, podemos encontrar a quantidade total somando cada uma das quantidades encontradas:

Qtotal= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) A expressão para o cálculo do salário em função do tempo proposta pelo sindicato, corresponde a uma função exponencial.

Para encontrar o valor do salário na situação indicada, vamos calcular o valor de s, quando t=2, conforme indicado abaixo:

s(2) = 1800. (1,03)2 = 1800 . 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1 909,62